Книжный каталог

Фигурные числа

Перейти в магазин

Сравнить цены

Описание

Эта книга посвящена фигурным числам - разделу элементарной математики, который берёт свое начало в древности и которым по сей день интересуются как любители, так и профессионалы.

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
Чернышев С. Фигурные числа. Моделирование и классификация сложных объектов Чернышев С. Фигурные числа. Моделирование и классификация сложных объектов 664 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Ножницы фигурные Ножницы фигурные 49 р. modi.ru В магазин >>
Елена Деза, Мишель Деза Фигурные числа Елена Деза, Мишель Деза Фигурные числа 424 р. ozon.ru В магазин >>
Мишель Деза Фигурные числа Мишель Деза Фигурные числа 205 р. litres.ru В магазин >>
Щипцы бамбуковые фигурные Щипцы бамбуковые фигурные 75 р. 101tea.ru В магазин >>
Коньки Action PW-460 фигурные р.37 Коньки Action PW-460 фигурные р.37 1680 р. techport.ru В магазин >>
Кровать-трансформер Антел Кровать-трансформер Антел "Ульяна-1" маятник фигурные спинки клён 7590 р. techport.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА

Все три пирамиды O 1 OABC , O 1 ABB 1 A 1 и O 1 BCC 1 B 1 имеют общее ребро O 1 B , число точек в котором с целыми координатами равно n . Суммируя точки с целыми координатами во всех трех пирамидах, получаем равенство

из которого следует равенство

Аналогичным образом, рассматривая разбиение четырехмерного куба на четыре гиперпирамиды, можно получить следующее равенство

из которого следует равенство

В общем случае имеет место равенство

которое позволяет находить сумму 1 m + 2 m + … + n m через суммы меньших степеней.

В частности, имеет место формула

Рассмотрим числа, связанные с фигурными числами, образующие равнобедренный треугольник, называемый треугольником Паскаля. По боковым сторонам этого треугольника стоят единицы и всякое число, кроме этих единиц, получается как сумма двух чисел, расположенных над данным числом.

Блез Паскаль посвятил этому треугольнику "Трактат об арифметическом треугольнике", опубликованный в 1653 г. В нем этот треугольник записывался в виде таблицы

в которой каждое число равно сумме чисел, расположенных слева и сверху над ним. Будем называть его прямоугольным треугольником Паскаля. Таким образом, треугольник Паскаля отличается от прямоугольного треугольника, рассматривавшегося самим Паскалем, поворотом на 45 ° .

В действительности треугольник Паскаля был известен задолго до Паскаля. Итальянский математик Николо Тарталья в книге "Общий трактат о числе и мере (1556 – 1560 гг.) рассмотрел прямоугольник

в котором верхняя строка и левый столбец состоят из единиц, а каждое оставшееся число равно сумме чисел, расположенных слева и сверху над ним. Омар Хайям, бывший не только поэтом и философом, но и математиком, знал о треугольнике Паскаля (около 1100 г), в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Несмотря на свою простоту, треугольник Паскаля обладает целым рядом интересных свойств. Упомянем некоторые из них.

1. Треугольник Паскаля симметричен относительно высоты.

2. Каждое число в прямоугольном треугольнике Паскаля равно сумме чисел предшествующей строки, начиная с первого до числа, стоящего непосредственно над данным числом.

3. Каждое число в прямоугольном треугольнике Паскаля, будучи уменьшено на 1, равно сумме чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный строкой и столбцом, на которых стоит данное число.

4. Третья строка и третий столбец прямоугольного треугольника Паскаля состоят из треугольных чисел.

5. Четвертая строка и четвертый столбец прямоугольного треугольника Паскаля состоят из пирамидальных чисел.

6. Сумма чисел n-ой строки треугольника Паскаля равна 2 n , так как при переходе от каждой строки к следующей сумма чисел удваивается, а для нулевой строки она равна 1.

Обозначим через число, стоящее на k-ом месте в n-ой строке треугольника Паскаля, начиная с нулевого места и нулевой строки. По определению, имеет место равенство

Выясним связь между числами треугольника Паскаля и биномиальными коэффициентами.

Биномиальными коэффициентами называются коэффициенты при x, получающиеся при возведении бинома 1 + x в степень n ³ 0.

Обозначим через коэффициент при x k в разложении (1 + x ) n . Из приведенных выше разложений можно предположить, что имеет место равенство = . Действительно, по определению имеет место равенство

Найдем разложение для (1+x ) n +1 , представляя его в виде (1+x ) n (1+x). Имеем

Учитывая, что коэффициент при x k + 1 в последней сумме по определению равен , получаем формулу Сравнивая ее с формулой для чисел треугольника Паскаля, видим, что биномиальные коэффициенты и числа треугольника Паскаля получаются по тому же закону и, следовательно, имеет место равенство = .

Докажем, что для чисел треугольника Паскаля, а значит, и для биномиальных коэффициентов имеет место формула

где n ! ( читается эн факториал) равно произведению чисел 1, 2, …, n, и 0! считается равным единице.

Заметим, что приведенная формула имеет место в случае k = 0 и k = n . В общем случае достаточно проверить, что выполняется соотношение

Это делается непосредственно.

Самостоятельно решите следующие задачи:

1. Сколько нечетных чисел в 256-ой строке треугольника Паскаля?

2. Сколько чисел в 67-ой строке треугольника Паскаля делится на 67?

3. Прямоугольник n x m разбит сеткой на единичные квадраты. Сколькими способами можно пройти по линиям этой сетки из вершины A в вершину B , если из каждой ее вершины можно идти или направо, или вверх?

4. Имеется сеть дорог, изображенная на рисунке. Из точки A выходит 2 1000 человек. Одна половина из них идет направо, а вторая – налево. Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется: одна половина идет направо, а вторая – налево. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Сколько человек придет в три крайних слева перекрестка В1, В2, В3 тысячного ряда перекрестков?

5. Докажите, что имеет место равенство

6. Найдите, чему равна сумма

5. В треугольнике

1 4 10 16 19 16 10 4 1

каждое число равно сумме трех ближайших к нему чисел предыдущей строки. В n -ой строке будут стоять 2 n +1 чисел, которые мы обозначим Докажите, что выполняются равенства:

а)

б)

Выясните алгебраический смысл этих чисел. Найдите для них формулы.

6. Определите аналог треугольника Паскаля в пространстве (тетраэдр Паскаля). Выясните его алгебраический смысл. Найдите формулу для его элементов.

1. Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. – М.: Наука, 1974.

2. Гарднер М. Математические новеллы. – М.: Мир, 1974.

3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка.- М.: Наука, 1991.

4. Оре О. Приглашение в теорию чисел. – М.: Наука, 1980.

5. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. – М.: Наука, 1966.

6. Успенский В.А. Треугольник Паскаля. – М.: Наука, 1979.

7. Яглом А.М., Яглом И.М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. – М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1954.

Источник:

www.vasmirnov.ru

Реферат Фигурные числа

Фигурные числа

  • 1 Виды фигурных чисел
  • 2 Многоугольные числа
    • 2.1 Треугольные числа
    • 2.2 Квадратные числа
    • 2.3 Пятиугольные числа
    • 2.4 Шестиугольные числа
    • 2.5 Общий случай
  • 3 Многомерные фигурные числа
  • 4 Исторический очерк Примечания

    Фигу?рные чи?сла — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам.

    1. Виды фигурных чисел

    Различают следующие виды фигурных чисел:

    • Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … (последовательность A008578 в OEIS)
    • Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … (последовательность A002808 в OEIS)
    • Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, … (последовательность A033942 в OEIS)
    • Многоугольные числа

    2. Многоугольные числа

    Выкладывая различные правильные многоугольники, мы получаем разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб».

    2.1. Треугольные числа

    Последовательность треугольных чисел:

    1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …, , … (последовательность A000217 в OEIS)

    • Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
    • Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

    2.2. Квадратные числа

    Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

    1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n?, … (последовательность A000290 в OEIS)

    2.3. Пятиугольные числа

    1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …, , … (последовательность A000326 в OEIS)

    2.4. Шестиугольные числа 2.5. Общий случай

    Последовательность k-угольных чисел:

    Эквивалентный формат представления n-го элемента: .

    3. Многомерные фигурные числа

    Можно определить многомерные фигурные числа, частными случаями которых являются:

    • Изоэдральные многомерные фигурные числа. Пример: последовательность A081436 в OEIS.
    • Элементарные многомерные фигурные числа:
      • Гиперкубические:
      • Симплексные:
      • Гипероктаэдрные: , где . Пример: последовательность A014820 в OEIS.
    • Трехмерные правильные фигурные числа:
    где e — число вершин многогранника, f — число его граней, k — число сторон каждой грани, m — число граней, примыкающих к каждой вершине. Примеры: последовательности A006566, A006564, A005900.
    • Четырехмерные правильные фигурные числа:
    где E — число вершин, G — число граней mf — число многогранных углов вершины. Примеры: последовательности A092182, A092181, A092183.

    4. Исторический очерк

    Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Последний написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

    Большой интерес к фигурным числам проявляли индийские математики.

    В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1670) так называемую «золотую теорему»:

    • Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
    • Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов);
    • Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел:
    • и т. д.

    Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году. [1]

    Примечания
    1. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика - ilib.mccme.ru/djvu/combinatorika.htm. — М .: Наука, 1975. — С. 10-11. — 208 с.
    Литература
    • Глейзер Г. И. История математики в школе - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm. — М .: Просвещение, 1964. — 376 с.
    • Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm. — Изд.второе. — М .: Просвещение, 1965. — С. 150—155.
    • Серпинский В. Пифагоровы треугольники. — М .: Учпедгиз, 1959. — 111 с.
    • Стиллвелл Д. Глава 3 // Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

    Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 12.07.11 19:26:21

    Источник:

    wreferat.baza-referat.ru

  • Презентация «Фигурные числа»

    Презентация - Фигурные числа

    Похожие презентации Слайды и текст этой презентации

    МБОУ Кишкинская СОШ

    Учитель математики : Кузьмина Нина Юрьевна

    Проектно-исследовательская работа с учащимися 5 класса

    Определение и виды фигурных чисел.

    Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2•3).

    Телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2•2•2).

    Треугольные числа (3, 6, 10).

    Пятиугольные числа (5, 12, 22)

    Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

    Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2*2*2=8(два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3) 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125, 6*6*6=216, 7*7*7=343, 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10= 1000 и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят: "два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"?

    1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32), 6+10=16 (т.е. 42) и т.д.

    Источник:

    lusana.ru

    Проект ««Фигурные числа

    Проект ««Фигурные числа

    Школьная научная конференция молодых исследователей

    Направление : МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ.

    Автор: Новиков Павел

    МОУ СОШ №44 6 д класс

    Пономарева Надежда Викторовна

    учитель математики МОУ СОШ №44

    В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

    Во время изучения обыкновенных дробей обратил внимание на то, что в учебнике математики (автор - Виленкин Н.Я.) есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что фигурные числа встречаются в окружающей жизни, просто люди об этом не задумываются.

    Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

    Мне стало интересно, а знают ли другие школьники о фигурных числах. Поэтому я провёл анкету, на вопросы которой ответили 86 учеников 6-10 классов.

    Всего 34,4% учащихся знают какие числа называются фигурными. 19,8% считают, что фигурные числа – это плоские фигуры, 32,5 % - объёмные фигуры, 47,7 % думают, что они могут изображаться и плоскими и объёмными фигурами. 46,5 % предполагают, что эти числа изобрёл Пифагор. Половина опрошенных считает, что мы ежедневно встречаемся с фигурными числами в повседневной действительности.

    Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурное число и выявить его роль в нашей жизни.

    Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.

    Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их применение в жизни человека.

    ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 1.1. Из истории фигурных чисел.

    «Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске – абаке. По этой причине грек не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была равноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома» роднило её с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Итак, пифагорейские числа в современной терминологии – это натуральные числа». [2, с.117]

    Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д.

    Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это развитие счёта на камушках. Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В 5-4 веках до нашей эры учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.

    Увлеклись, причём независимо друг от друга, нахождением таких чисел Блез Паскаль и Пьер Ферма.

    1.2. Определение и виды фигурных чисел.

    Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

    Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию.

    Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2•3).

    Телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2•2•2).

    Треугольные числа (3, 6, 10).

    Квадратные числа (4,9,16).

    Пятиугольные числа (5, 12, 22)

    Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

    Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n -го треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел 1+2+3+…+ n , достаточно дополнить это число до прямоугольного числа n ( n +1) и увидеть (именно увидеть глазами!) равенство 1+2+3+…+ n = n ( n +1).

    Написав последовательность квадратных чисел, опять легко увидеть глазами выражение для суммы n нечётных чисел 1+3+5+…+(2 n -1) = n 2 .

    Разбивая n -е пятиугольное число на три ( n -1) треугольных, (после чего остаётся ещё n камешков»), легко найти его общее выражение 1+4+7+…+3 n -2= n +3 = .

    Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n - го k -угольного числа: = n +( k -2) .

    Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.:

    Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125. и так далее.

    Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе»?

    1.3. Применение фигурных чисел в жизни человека.

    Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.

    При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.

    При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.

    Упаковка конфет в форме линейного числа

    На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение 1)

    Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа. (Приложение 2)

    Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах (Приложение 3)

    Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

    Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (Приложение 4)

    Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Приложение 5)

    К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (Приложение 6)

    Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные , укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол и т.д. (Приложение 7)

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    В процессе работы по данной проблеме я добился цели, поставленной в начале исследования: изучил и исследовал фигурные числа - одно из понятий математики.

    Подводя итог работы, пришёл к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны, как солнце, воздух и вода.

    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

    Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

    - М.: Мнемозина, 2008.

    Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты.

    – М.: Просвещение, 1993.

    Энциклопедический словарь юного математика/ Составитель А.П.Савин.

    – М.: Педагогика, 1985

    ПРИЛОЖЕНИЕ

    Краткое описание документа:

    • 4763
    • 20.05.2014

    Свидетельство о публикации данного материала автор может скачать в разделе «Достижения» своего сайта.

    Не нашли то что искали?

    Воспользуйтесь поиском по нашей базе из

    2322837 материалов.

    Вы первый можете оставить свой комментарий

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Источник:

    infourok.ru

    Фигурные числа в городе Иваново

    В представленном интернет каталоге вы сможете найти Фигурные числа по разумной стоимости, сравнить цены, а также найти другие предложения в группе товаров Наука и образование. Ознакомиться с параметрами, ценами и рецензиями товара. Доставка товара осуществляется в любой город РФ, например: Иваново, Магнитогорск, Улан-Удэ.